Ideal Urutan pada Jumlah Langsung Leksikografik dari Grup Abel Terurut Total R dan Z
Kata Kunci:
ideal urutan, subgrup, grup abel, urutan total, jumlah langsung leksikografikAbstrak
Misalkan G1 = R ._lex Z dan G2 = Z ,_lex R adalah grup abel terurut total. Bentuk umum setiap subgrup dari G1 adalah G ,_lex nZ, sedangkan bentuk umum subgrup dari G2 adalah nZ ,_lex G dengan G merupakan subgrup dari R dan n adalah anggota dari himpunan bilangan asli atau nol (n e N U {0}).
Tujuan dari paper ini adalah memperoleh gambaran mengenai ideal urutan tak trivial dari G1 dan G2. Metode yang digunakan diawali dengan menentukan subgrup-subgrup dari R dan Z, kemudian menjumlahkan langsung subgrup-subgrup dari R dan Z tersebut. Hasil penjumlahan langsung tersebut merupakan subgrup-subgrup tak trivial dari G1 dan G2. Selanjutnya dilakukan uji sifat pengawetan urutan dari setiap bentuk subgrup tak trivial dari G1 dan G2 tersebut.
Dari metode tersebut diperoleh hasil bahwa satu-satunya ideal urutan tak trivial dari G1 adalah subgrup {0} ,_lex Z dan satu-satunya ideal urutan tak trivial dari G2 adalah subgrup {0} ,_lex R, meskipun setiap subgrup tak trivial dari R dan Z masing-masing tidak memiliki sifat pengawetan urutan.
Kesimpulan pada paper ini adalah bahwa satu-satunya ideal urutan tak trivial pada R ,_lex Z adalah {0} ,_lex Z yang isomorfik dengan Z sebagai grup, sedangkan satu-satunya ideal urutan tak trivial pada Z ,_lex R adalah {0} ,_lex R yang isomorfik dengan R sebagai grup.
Referensi
T. Glavosits and Z. Karacsony, Sums and products of intervals in ordered groups and fields, Acta Univ Sapientiae Matem, vol. 13, no. 1, pp. 182–191, 2021.
G. Leloup, MV-algebras and Partially Cyclically Ordered Groups, Order, vol. 39, no. 2, pp. 323–359, 2022, doi: https://doi.org/10.1007/s11083-021-09578-z
P. D'Aquino, J. Derakhshan, and A. Macintyre, Truncations of ordered abelian groups, Algebra Universalis, vol. 82, no. 2, p. 27, 2021, doi: https://doi.org/10.1007/s00012-021-00717-6
I. Yengui, The Grobner ring conjecture in the lexicographic order case, Mathematische Zeitschrift, vol. 276, pp. 261–265, 2014, doi: https://doi.org/10.1007/s00209-013-1197-y
Y. Jin, Z. Tan, J. Chen, and S. Ma, Discovery of approximate lexicographical order dependencies, IEEE Trans Knowl Data Eng, vol. 35, no. 4, pp. 3684–3698, 2021, doi: https://doi.org/10.1109/TKDE.2021.3130227
M. A. Toumi, When the Range of Every Orthomorphism is an Order Ideal, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, vol. 43, pp. 4289–4302, 2020, doi: https://doi.org/10.1007/s40840-020-00922-x
S. P. Dutta, On a consequence of the order ideal conjecture, J Pure Appl Algebra, vol. 219, no. 3, pp. 482–487, 2015, doi: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.05.006
O. Gok, Tensor Product of Order Ideals, in International Mathematical Forum, 2021, pp. 131–136, doi: https://doi.org/10.12988/imf.2021.912251
M. Chan, S. Haddadan, S. Hopkins, and L. Moci, The expected jaggedness of order ideals, in Forum of Mathematics, Sigma, Cambridge University Press, 2017, p. e9, doi: https://doi.org/10.1017/fms.2017.5
K. R. Goodearl, Partially Ordered Abelian Groups with Interpolation, 20th ed., no. 20, American Mathematical Society, 1986.
R. Rosjanuardi, Primitive ideals of Toeplitz algebra of ordered groups, J. Indones. Math. Soc. (MIHMI), vol. 14, pp. 111–118, 2008.
R. Rosjanuardi, S. M. Gozali, and I. N. Albania, c-Convex Subgroups of Finite Dimensional Cyclically Ordered Free Abelian Groups, Computer Science, vol. 18, no. 1, pp. 37–45, 2023.
S. Adji, I. Raeburn, and R. Rosjanuardi, Group extensions and the primitive ideal spaces of Toeplitz algebras, Glasgow Mathematical Journal, vol. 49, no. 1, pp. 81–92, 2007, doi: https://doi.org/10.1017/S0017089507003436
R. Rosjanuardi and T. Itoh, Characterisation of maximal primitive ideals of Toeplitz algebras, Scientiae Mathematicae Japonicae, vol. 72, no. 2, pp. 121–126, 2010.
J. Singh, Subgroups of the additive group of real line, arXiv preprint arXiv:1312.7067, 2013, doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.1312.7067
